Polimini Cavalcabili

Da un'idea di Paolo Licheri

A cura di Gabreiele Carelli

Il 6febbraio 2004 Paolo Licheri propone sul newsgroup it.hobby.enigmi il seguente problema:

Definisco (sempre che non ci abbia gia pensato qualcun altro) polimini *cavalcabili* quelli percorribili passando da una casella all'altra con il movimento del cavallo degli scacchi.
Per ora ho trovato un eptamino cavalcabile:

mentre questo ottomino:

oltre ad essere cavalcabile, può anche tassellare il piano.

[cut]

Una prima oservazione: nei polimini cavalcabili (così come nei percorribili di Marco) ci si
sposta sempre da una casella bianca ad una nera, o viceversa: da qui potrebbero nascere
interessanti questioni di parità. [cut]

Bah. Chissà se ne può venir fuori qualcosa.

ciao
paolo

N.B.: Rispetto alla mail originale sono state effettuati alcuni tagli, indicati con [cut], laddove il discorso toccava altri argomenti; sono stati inoltre rifatti i disegni che in originale erano in ascii art.

E qualcosa è venuto sicuramente fuori.

Come al solito è Livio Zucca a far quasi tutto il lavoro, riesce ad enumerare i polimini cavalcabili fino ad N=12 [il limite di 12 è dovuto al fatto che dispone delle tavole di polimini solo fino a quest-ordine] ottenendo la seguente serie:

1,0,0,0,0,0,2,10,57,191,571,1546,.....

Sono qui disponibili i files *.txt con tutte le soluzioni trovate da Livio ( 7-8-9-10, 11, 12)

Riporto come esempio i primi casi non banali

Arrivati a questo punto è lo stesso Paolo a rilanciare la sfida con la seguente mail:

Un pentamino Y non è cavalcabile. Ma, se ne uniamo due in modo opportuno otteniamo un decamino cavalcabile:

quindi diciamo che il pentamino Y è cavalcabile di ordine 2.

Se uniamo quattro domini otteniamo un ottomino cavalcabile

quindi il domino è cavalcabile di ordine 4.

Scommetto che qualcuno si vorrà divertire a trovarne altri!

ciao
paolo
 

Paolo ha sicuramente vinto la scommessa visto che  io e Livio ci siamo divertiti ad analizzare in maniera completa tutti i polimini fino ad N=6 con qualche incursione negli eptamini.

Vediamo i risultati ottenuti:

Non esistendo esamini cavalcabili non è possibile avere trimini cavalcabili di ordine 2 e quindi siamo assicurati che 3 è sicuramente il minimo ordine di cavalcabilità.

Dall'elenco degli ottomini cavalcabili è facile ricavare che il tetramino L è l'unico cavalcabile con ordine 2 [in 3 modi diversi] . Per questioni di parità non è difficile dimostrare che la T non può avere ordine 3 e quindi 4 è il minimo possibile.

Sempre per motivi di parità è facile dimostrare che la X non può essere cavalcabile di ordine 3 e quindi 4 è il minimo ordine possibile [l'ordine 2 è facilmente controllabile a mano in maniera esaustiva].

Vediamo ora come si comportano i 35 esamini: 29 hanno ordine 2, 3 hanno ordine 3 ed uno solo ha ordine 4 [non escludo però che si possano trovare soluzioni migliori per l'ultimo esamino].

Altra estensione possibile del "gioco" è quella di unire coppie di pentamini diversi  in modo da formare un decamino percorribile. Ancora una volta motivi di parità ci assicurano che il pentamino X non può essere unito ad un altro pentamino per dare origino ad una figura cavalcabile, per questo motivo la X non è proprio contemplata nella tabella che segue.

Mi piacerebbe finire di riempire la tabella di cui sopra, alcune accoppiate non hanno sicuramente soluzione ma forse, di quelle ancora vuote, qualcuna può essere riempita. Per questo non esitate a mandarmi soluzioni che non dovessero comparire.

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Questa pagina ha visto la luce il 25/02/04 ed è affidato alle inesperte mani di Gabriele Carelli

L'ultimo aggiornamento è del 15/04/2004

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